例子：

1，16，81，256，625，1296　(a(n)=n^4)

15,65,175,369,671

50,110,194,302

60,84,108

24,24

从上例看出，四次数列经过四次逐项差后变成常数数列。

等比数列的逐项差还是等比数列

四、已知数列通项公式A(N)，求数列的前N项和S(N)。

这个问题等价于求S(N)的通项公式，而S(N)=S(N-1)+A(N)，这就成为递推数列的问题。

解法是寻找一个数列B(N)，

使S(N)+B(N)=S(N-1)+B(N-1)

从而S(N)=A(1)+B(1)-B(N)

猜想B(N)的方法：把A(N)当作函数求积分，对得出的函数形式设待定系数，利用B(N)-B(N-1)=-A(N)求出待定系数。

例题1：求S(N)=2+2*2^2+3*2^3+。。。+N*2^N

解：S(N)

=S(N-1)+N*2^N

N*2^N积分得(N*LN2-1)*2^N/(LN2)^2

因此设B(N)=(PN+Q)*2^N

则　(PN+Q)*2^N-[P(N-1)+Q)*2^(N-1)=-N*2^N

(P*N+P+Q)/2*2^N=-N*2^N

因为上式是恒等式，所以P=-2，Q=2

B(N)=(-2N+2)*2^N

A(1)=2，B(1)=0

因此：S(N)=A(1)+B(1)-B(N)=(2N-2)*2^N+2

例题2：A(N)=N*(N+1)*(N+2)，求S(N)

解法1：S(N)为N的四次多项式，

设：S(N)=A*N^4+B*N^3+C*N^2+D*N+E

利用S(N)-S(N-1)=N*(N+1)*(N+2)

解出A、B、C、D、E

解法2：

S(N)/3！=C(3，3)+C(4，3)+。。。C(N+2，3)=C(N+3，4)

S(N)=N*(N+1)*(N+2)*(N+3)/4